%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.6. French}
Si une $\mathcal{O}$-algèbre $\mathcal{O}'$ est un anneau de valuation discrète de corps des fractions $K'$ algébrique sur $K$, la dérivation $d$ se prolonge de façon unique en
\[
d : K' \longrightarrow \Omega \otimes_\Theta K'.
\]

Soient $e$ l'indice de ramification de $\mathcal{O}$ à $\mathcal{O}'$, et $t'$ une uniformisante de $\mathcal{O}'$. 

On pose
\[
\Omega' = t'^{e-1} \Omega \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'.
\]

On vérifie aisément à l'aide de 1.6 que le triple $(\mathcal{O}', d, \Omega')$ vérifie encore 1.4.1.

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\subsection*{1.6. English}
If an $\mathcal{O}$-algebra $\mathcal{O}'$ is a discrete valuation ring whose field of fractions $K'$ is algebraic over $K$, then the derivation $d$ extends uniquely to
\[
d : K' \longrightarrow \Omega \otimes_\mathcal{O} K'.
\]

Let $e$ be the ramification index of $\mathcal{O}'$ over $\mathcal{O}$, and let $t'$ be a uniformizer of $\mathcal{O}'$.

We set
\[
\Omega' = t'^{e-1} \Omega \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'.
\]

Using 1.6, one easily verifies that the triple $(\mathcal{O}', d, \Omega')$ again satisfies condition (1.4.1).

